Notes on Linear Algebra for Polynomials｜多項式の線形代数に関するノート

我々は、次数が n 以下の実数係数多項式の集合 P_n(\mathbb{R}) を扱う。このような多項式は、以下のように n+1 個のスカラー係数 a_i を用いて表現できる。 集合 P_n(\mathbb{R}) は、多項式の加法とスカラー倍とともにベクトル空間を形成する。証明として、ベクトル空間の公理がどのように満たされるかを確認しよう。説明のために、p(x), q(x), r(x) を集合 P_n(\mathbb{R}) からの任意の多項式とする。同様に、a と b は ![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/0ed839b111fe0e3ca2b2f618b940893eaea88a57.png) 内の任意のスカラーとする。 ベクトル加法の結合性: 多項式の加法は結合的であるため、これは自明である[1]。同様の理由で、交換性も自明である。 ベクトル加法の交換性: ベクトル加法の単位元: 零多項式 0 が単位元として機能する。\forall p(x)\in P_n(\mathbb{R}) に対して、0 + p(x) = p(x) が成り立つ。 ベクトル加法の逆元: 各 p(x) に対して、q(x)=-p(x) を加法逆元として用いることができる。なぜなら p(x)+q(x)=0 だからである。 スカラー倍の単位元: スカラー 1 がスカラー倍の単位元として機能する。各 p(x) に対して、1\cdot p(x)=p(x) が真である。 スカラー倍の結合性: 任意の二つのスカラー a と b に対して: ベクトル加法に対するスカラー倍の分配性: 任意の p(x), q(x) とスカラー a に対して: スカラー加法に対するスカラー倍の分配性: 任意のスカラー a, b と多項式 p(x) に対して: 線形独立性、張る空間、基底 P_n(\mathbb{R}) 内の多項式がベクトル空間を形成することを示したので、その上にさらに線形代数の定義を構築できる。 k 個の多項式 p_k(x)\in P_n(\mathbb{R}) の集合が線形独立であるとは、 が a_i=0 \quad \forall i を意味するときに言う。言い換えれば、ゼロベクトルをもたらす線形結合は、すべての係数が 0 の場合のみである。 例として、P_n(\mathbb{R}) 内の多項式の基本的な構成要素である集合 \{1, x, x^2, \dots x^n\} について議論しよう。これらは線形独立である。なぜなら、 が真となるのは、すべての係数 a_i=0 である零多項式の場合のみだからである。これは多項式の定義そのものから来ている。さらに、この集合は P_n(\mathbb{R}) 全体を張る。なぜなら、すべての多項式は（定義により）\{1, x, x^2, \dots x^n\} の線形結合として表現できるからである。 これらの基本多項式が線形独立であり、ベクトル空間全体を張ることを示したので、これらはこの空間の基底である。実際、この集合には特別な名前がある：単項式基底（なぜなら単項式は単一の項を持つ多項式だからである）。 任意の多項式集合が基底かどうかを確認する ある多項式の集合があり、これらが P_n(\mathbb{R}) の基底を形成するかどうかを知りたいとしよう。どうすればよいか？ 考え方は、他の任意のベクトル空間に対して行うのと同じように線形代数を用いることである。具体的な例を用いて説明しよう： 集合 Q は P_n(\mathbb{R}) の基底か？まず、Q の要素が線形独立かどうかを確認することから始める。次のように書く： 再編成することで、これを次のように変形できる： これが真であるためには、各単項式の係数がゼロでなければならない。数学的に： 行列形式で： この行列を行階段形に簡約することで、これを解く方法はわかっている。この特定の行列の簡約行階段形が単位行列 I であることは容易にわかる。したがって、この方程式系には唯一の解 a_i=0 \quad \forall i が存在する[2]。 集合 Q が線形独立であることを示した。次に、これが空間 P_n(\mathbb{R}) を張ることを示そう。次の式を分析したい： そして、任意の ![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/f7c665b45932a814215e979bc2611080b4948e68.png) , ![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/6499d503bfc00cadae1440b191c52a8632e2f8c4.png) , \gamma に対してこれを満たす係数 a_i を見つけたい。前と同じように、左辺を再編成して進める： そして、![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/11f6ad8ec52a2984abaafd7c3b516503785c2072.png) の各べき乗の係数をそれぞれ等置する： これを行列形式に変換すると、係数の行列は前と全く同じになる。したがって、唯一の解が存在することがわかる。そして、行列を I に並べ替えることで、解は右辺に現れる。実際の解が何であるかは、今のところ、それが存在し唯一である限り重要ではない。Q が空間を張ることを示した！ 集合 Q は線形独立であり、P_n(\mathbb{R}) を張るので、これは空間の基底である。 ヒルベルト空間に関する投稿で、関数の内積について議論した。さて、多項式は関数なので、積分を用いて次のように内積を定義できる[3]： ここで、境界 a と b は任意であり、無限でもよい。積分を扱うときはいつも収束が心配になる。ヒルベルト空間に関する私の投稿では、L^2 - 二乗可積分関数についてのみ話した。しかし、ほとんどの多項式は二乗可積分ではない。したがって、次のいずれかを用いてこれを制限できる： 内積の積分が収束することを確実にする特別な重み関数 w(x) を用いる。 積分の境界を有限に設定し、w(x)=1 と設定する。 後者を用いて、境界を範囲 [-1,1] に制限し、w(x)=1 と設定しよう。次の内積を得る： これが内積空間の条件を満たすか確認しよう。 共役対称性： 実数乗算は可換なので、次のように書ける： ここでは実数を扱っているので、複素共役は無視して安全である。 第一引数に関する線形性： p_1,p_2,q\in P_n(\mathbb{R}) と a,b\in \mathbb{R} とする。次のことを示したい： 内積の定義を用いて左辺を展開する： 結果は a\langle p_1,q\rangle +b\langle p_2,q\rangle と等価である。 正定値性： 非ゼロの p\in P_n(\mathbb{R}) に対して、\langle p, p\rangle > 0 であることを示したい。まず第一に、すべての ![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/11f6ad8ec52a2984abaafd7c3b516503785c2072.png) に対して p(x)^2\geq0 なので、次のことは真である： しかし、結果が 0 の場合はどうか？さて、 としよう。p(x)^2 は非負関数なので、これは非負関数の積分が結局 0 になることを意味する。しかし、p(x) は多項式なので連続であり、p(x)^2 も連続である。連続な非負関数の積分が 0 ならば、関数自体が 0 であることを意味する。もしどこかで非ゼロであれば、積分も必然的に正でなければならない。 \langle p, p\rangle=0 となるのは p が零多項式の場合のみであることを証明した。正定値性の条件は満たされている。 結論として、P_n(\mathbb{R}) と定義した内積は、内積空間を形成する。 内積が定義されたので、多項式上の直交性を定義できる：二つの多項式 p, q が（我々の内積に関して）直交するのは、 のとき、かつそのときに限る。 予想に反して[4]、単項式基底の多項式は、我々の内積の定義を用いると直交しない。 例えば、1 と x^2 の内積を計算する： 我々の内積を用いて直交する他の多項式の集合が存在する。例えば、ルジャンドル多項式がそうである。しかし、これは別の投稿の話題である。 これらのノートでは、これ以上深く立ち入らない基本的な代数のレベルがある。a_i x^i + a_j x^j のようなものを b_i x^i + b_j x^j に加えるには、任意の ![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/042dc4512fa3d391c5170cf3aa61e6a638f84342.png) と j に対して ![](https://eli.thegreenplace.net/images/math/11f6ad8ec52a2984abaafd7c3b516503785c2072.png) の各べき乗を別々に加えればよい、などとさらに分解して言うこともできるが、それは自明のこととして受け入れよう。 明らかに、この特定の方程式系は行列なしでも非常に簡単に解ける。ただ、より一般的なアプローチを実演したいだけである。線形方程式系が得られれば、線形代数の道具箱全体を自由に使える。例えば、行列式を確認してそれが非ゼロであることを見ることもできた。それは正方行列が可逆であり、この場合唯一の解を持つことを意味する。

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