腾讯混元 AI「Hyra」が加法組合学の50年未解決問題を解明

「Hyra」が50年以上も未解決だった加法組合論の難問を解決

中国の数学界で、王虹氏と鄧煜氏が2026年のフィールズ賞を受賞したことで、久しぶりに数学が一般社会の話題となりました。

先週、私たちは研究用 AI エージェント「Hyra」を発表しました。今月オープンソース化された基盤モデル「Hy3」（総パラメータ数295B、活性化パラメータ数21B）を駆使した Hyra は、ある重要な構成要素を見出し、加法組合論において半世紀以上も未解決だった難問に対する完全な解答を提供しました。

まず、少なくとも2つの要素を含む有限整数集合 A を考えます。A の任意の2要素を足し合わせた結果を集めると「和集合 (A+A)」が得られ、引き算の結果を集めると「差集合 (A-A)」が得られます。

重複する結果は1回だけ数えるため、「加減算によってこの集合はいったいどれだけ拡大するのか」という自然な疑問が生じます。

数学者はこの拡大率を2つの指標で測ります。前者是和集合の拡大倍数、後者は差集合の拡大倍数です。これらに関する古典的な不等式は以下の通りです。

指数を評価するために、以下のように定義します。

この古典的不等式により、C(A) ≤ 2 が導かれます。しかし真の問題は、「2 は単に緩い上界なのか、それとも任意の値に限りなく近づけられる最適解なのか」という点にあります。

過去半世紀以上、数学者たちは C(A) を最大化する新たな集合を次々と構築してきました。1969 年の初期の構成では約 1.0290、1973 年には 1.0598 へと改善され、2013 年からは 1.1259 に達しました。そしてここ一年、AI を活用した探索によってこの数値は 1.1449 まで引き上げられました。さらに、論文に記録された内部実験では、Codex（GPT-5.5）が人間の指導と組み合わさり、ついに 1.2851 という記録を打ち立てています。

しかし、Hyra と Hy3 は決定的な一歩を踏み出しました。彼らが提示したのは、以下の条件を満たす有限整数集合の族です。

これはつまり、「2 にいくらでも近づける目標値を設定すれば、それに対応する集合を構成して指数をその値より大きくできる」ということを意味します。したがって、2 はまさにこの問題における上界（上限）なのです。

これは単なる力技の探索ではありませんでした。

以前、Georgiev 氏、Gómez-Serrano 氏、陶哲軒氏、Wagner 氏らの研究者が AlphaEvolve を用いて検索アルゴリズムや候補集合の最適化を試みていました。しかし、こうした手法は有限集合を列挙する方式に依存しており、規模が大きくなるにつれて計算コストとメモリ使用量が急増し、証明可能な漸近的な構成へと自然に移行することが困難でした。

私たちはまず Hyra を用いて有限探索を行い、最良の結果を約 1.14 から 1.21 まで引き上げました。その後、自然言語を用いて数学的な構成と論証を提案する方向へ転換しました。探索プロセスには LLM judge（大規模言語モデルによる評価）を活用し、フィードバックを提供させています。

約 24 時間の計算を経て、Hyra は論文の核心となるアプローチを導き出しました。それは、十二進数の数字構造と精巧な差集制御を組み合わせて、循環群上の対称加法基と中国剰余定理を活用し、和集合が平方にほぼ近い速度で拡大する仕組みです。私たちはこの証明を独立して検証・整理し、Lean 4 による形式化証明も提示しました。

半世紀以上も未解決だった難問に対し、Hyra の発表から一週間後に完全な解答が示されました。現在では、論文のプレプリント、明示的な構成方法、そして形式化証明がすべて公開されています。

Hyra と Hy シリーズモデルによる探求は、まだ始まったばかりです。

関連リンク：

論文：https://arxiv.org/abs/2607.27199

Lean 形式化証明：https://github.com/linhaowei1/sum-diff-proof

X / Twitter：https://x.com/TencentHunyuan/status/2082655737541726636

Hyra 紹介ページ：https://hy.tencent.ai/research/hyra

Hy3：https://github.com/Tencent-Hunyuan/Hy3

微信で開くにはここをタップ