OpenAI、ナヴィエ・ストークス方程式の解明に成功と報告

私たちは、ミレニアム懸賞問題の一つである「ナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題」に対する解を公開します。この証明は OpenAI の内部システムによって生成されたもので、流体運動を表すナビエ・ストークス方程式のダイナミクスが有限時間で特異点（シンギュラリティ）を発生しうることを示しています。証明の詳細な解説と、それを Lean 言語で形式化したコードの両方を公開します。

ミレニアム懸賞問題 は、数学の最前線にある最も深遠な問いの一つです。滑らかな三次元の流体運動が破綻するかどうかという疑問は、約 90 年にわたり未解決のままとなっていました。

私たちの研究における主要な目標の一つは、科学者が人類全体に利益をもたらす研究や技術の発展を推進できるよう支援することです。ナビエ・ストークス問題を解くために使用したのは、GPT‑6 Astra よりもはるかに能力が高い内部モデルです。AI の進歩の速さと、今後登場するモデルに対して何を期待すべきかについて、世界に情報を提供することが重要だと考えています。

問題の概要

ナビエ・ストークス方程式は、ニュートンの運動第二法則（F=ma）を用いて流体の動きを記述します。重要な点は、この方程式が個々の分子を追跡するのではなく、流体を連続体として扱うことです。これらの方程式は、航空機の設計、気象予報、血液の流れの研究など幅広く利用されています。

これらの運動方程式における根本的な未解決の問いは、流体の連続体近似が破綻する可能性の有無です。具体的には、密度一定の 3 次元非圧縮性流体に対するナビエ・ストークス方程式が、初期状態が滑らかであっても「特異点」を形成しうるのでしょうか？ここで言う特異点とは、有限時間内に流体内の速度が無限大に発散する現象を指します。粘性は運動を平滑化する働きがあるため、特異点の発生は粘性が存在するにもかかわらず起こらなければなりません。現実の流体が無限の速さで動くことはあり得ないため、これは方程式による流体モデルの破綻を示すことになります。もし特異点が形成された場合、システムをモデル化し続けるには、個々の粒子の挙動を追跡する必要が生じます。

これらの方程式は、19 世紀にクレール＝ルイ・ナヴィエとジョージ・ゲイブル・ストークスによって確立されました。1934 年、ジャン・レラエが一般化された意味での解の存在を証明しましたが、解が常に滑らかであるかどうかについては、長らく未解決の核心課題となっていました。2000 年、クレイ数学研究所はナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題を、7 つあるミレニアム懸賞問題の一つに選定しました。

結果

我々のシステムは、静止していた滑らかな流体が有限の時間で特異点（特異性）を形成しうることを示す解析的証明と、Lean による形式化を行いました。この流体には滑らかな外力が作用しており、静止状態から特異点形成に至るまでのダイナミクス全体を通じてエネルギーは有限に保たれます。これにより、公式の Millennium Prize の定式化における命題「C」（および「D」）が確立され、ナヴィエ・ストークス方程式に関するミレニアム懸賞問題が解決されました。

解となるのは渦です。流体の回転する渦巻きが内側へ螺旋状に巻き込み、スパゲッティのように次第に細長く伸びていきます。この中心部は縮小しながら速度を増していきますが、物理法則が要求するようにエネルギーは有限のまま保たれます。技術的な課題は、無限大の力を手動で与えるのではなく、流体自身の運動を通じて方程式が破綻（バッドアップ）する様子を導き出すことにあります。より数学的に言えば、ナヴィエ・ストークス方程式における運動を記述する項——加速度、圧力勾配、運動量輸送、粘性——は、どちらも「大きくなる」一方で、精密なバランスで互いに打ち消し合う必要があります。この詳細な釣り合いにより、流体の速度が無限大に発散しても、滑らかな外力が存在し続けることになります。

非圧縮流体の局所的な運動のスナップショット。オレンジ色はより速い角回転を、水色はより遅い回転を示しています。循環速度も半径に依存します。軌跡は内向きの螺旋と軸方向の伸長を示しています。

証明を見つけた方法

8月28日以来、私たちは数学を含むベンチマークで前例のない性能を発揮している新しい内部モデルのトレーニングを行ってきました。このモデルのトレーニングは現在も進行中であり、その性能はさらに向上し続けています。

9月1日（火）、ミレニアム賞問題のうち2つが解決されたという噂を耳にしました。これらの噂と、当社の内部モデルにおける性能の劇的な向上に触発され、私たちはすべての公開されているミレニアム賞問題およびいくつかの他の高インパクトな問題に対してこのモデルの評価を開始しました。

私たちは、内部モデルによって駆動される調整エージェントシステムを使用しました。これらのエージェントは、インターネットのキャッシュ版からの読み込みやコードの実行といったツールにアクセス可能でした。エージェントはグループ内に通信できる能力を持つ複数のサブグループに分けられていました。グループサイズは様々でしたが、Navier–Stokes 方程式の解決策を導き出したグループには、約10,000個の並列エージェントが関与していました。我们始终（常に）、すべてのフロンティアモデル評価に適用している厳格な安全対策、つまり監視と隔離を維持し続けています。

各問題に対して、異なるグループのエージェントに問題文のさまざまなバリエーションを提示し、すべてのバリエーションを網羅しました。Navier–Stokes 方程式の問題については、「A」と「B」版（証明につながる特定の形式）と、「C」と「D」版（反証につながる形式）を分けて、異なるグループのエージェントに提示しました。

ミレニアム懸賞問題の完全なバージョンに加え、マルチエージェントシステムには一連の「より簡単な問題」にも挑戦させました。その一つは、粘性項を除いた Navier–Stokes 方程式の極限における類似の爆発（blowup）に関する問いです。これはオイラー方程式の正則性問題として知られており、私たちのエージェントがこの問いに答えてくれました。彼らが解決したのは外力が加えられない「非強制」バージョンです。このオイラー方程式の正則性反証には、約 100 のエージェントが協力して約 50 時間を要しました。

オイラー方程式の解を確認した私たちは、Navier–Stokes 方程式こそが最も有望な課題であると判断し、リソースをここに集中させることに決めました。そのために他のミレニアム懸賞問題からエージェントを引き抜き、彼らにオイラー方程式の解決結果を提示しました。また、取り組みの過程で内部モデルのさらに訓練されたバージョンが利用可能になった際には、エージェントをその新しいモデルへ更新しました。

異なるグループのエージェントに多様なアプローチを探求させるよう促しました。ある程度時間が経過した後、Codex を用いて各グループから最も有用な洞察を統合し、グループ間で相互に知識を共有するクロス・ポリネーションを行いました。これらのフォローアッププロンプトは、エージェント自身が得た中間結果に基づいています。ナヴィエ–ストークス方程式の解法を見つけたグループも、こうした手法によって導かれました。

エージェントたちは、最初のエージェントが起動してから約 88 時間後の 9 月 5 日（土曜日）に解決に至りました。形式的な定式化と検証には、GPT‑6 Astra を通じてさらに 17 時間を要しました。

試行されたすべての問題において、エージェントは合計 490 万メッセージを送信し、約 3,000 億トークンの出力を使用しました。ナヴィエ–ストークス問題の解決プロセスでは、270 万メッセージが送信され、約 130 億トークンの出力が使われました。

並行して進められた取り組み

私たちの取り組みは、9 月 1 日に始まりました。そのきっかけは、後に Anthropic の社員である Levent Alpöge 氏と NYU の数学教授 Tristan Buckmaster 氏に関連する噂を耳にしたことです。

私たちがプロジェクト全体を完了し、Lean による検証を終えたのは 9 月 6 日です。当時、彼らもナヴィエ・ストークス方程式の解法を持っているという噂を信じていたため、彼らに連絡を取り、私たちの成果を並行して発表することや、共同発表において彼らの優先権を認めることを提案しました。

その時点で判明したのは、彼らが「強制されたオイラー問題」に対する解決策を持っていたということです。これらの議論の中で、私たちは使用したすべてのプロンプトの内容を開示し、後に証明書も閲覧できるようにしました。私たちは彼らの「強制されたオイラー」に関する研究の優先権を認め、この画期的な数学的成果を称賛します。

私たち（研究者とエージェント）は、彼らが成果を公開するまで、いかなる手段によっても彼らの作業を一切知りませんでした。特に、この問題解決のために特定のユーザーデータにアクセスしたわけではありません。可能性は低いですが、私たちの製品利用から導き出された非識別化データが モデルの性能向上 に寄与していた可能性を完全に否定することはできません。

しかし、私たちの証明は大きく異なり、オイラーの場合（強制あり vs 強制なし）に証明された結果さえも異なります。

進捗と責任

今回の成果を発表する目的は、AI モデルが大幅に進歩したことを報告することにあります。ただし、この結果に対してミレニアム賞の受賞を主張する意図はありません。

このマイルストーンは、数学者と AI 研究者による多大な努力の結晶です。しかし、これは終着点ではなく、AI 開発における進捗の「ある時点でのスナップショット」と言えるでしょう。

私たちは現在、AI の新たな発展期に入ったと考えています。今回の結果はその確かな証拠の一つです。今後はこのモデルを深く理解し、得られた知見をもとに、能力向上に向けた取り組みの方向性とペースを適切に導いていきます。私たちの重要な目標の一つは、人間が制御可能で責任あるシステムであり、人々と密接につながった AI を構築することです。そのためには、AGI が人類全体に利益をもたらすという使命を果たしつつも、進歩の速度についてより慎重な判断を下す必要があるかもしれません。