OpenAI、内部システムがナヴィエ–ストークス問題の解法を証明

私たちは、ミレニアム賞問題の一つである「ナビエ・ストークスの存在と滑らかさに関する問題」に対する解を公開します。この証明は OpenAI の内部システムによって生成されたもので、流体運動を表すナビエ・ストークス方程式のダイナミクスが有限時間内で特異点（シンギュラリティ）を発展させる可能性を示しています。私たちは証明の詳細な解説と、それを Lean という形式言語で記述したものを同時に公開します。

ミレニアム賞問題 は、数学の最前線にある最も深遠な問いの一つです。滑らかな三次元の流体運動が破綻するかどうかという問題は、約 90 年にわたり未解決のままとなっていました。

今回の研究における主要な目標は、科学者が人類全体に利益をもたらす研究や技術の発展を推進できるよう支援することです。ナビエ・ストークス問題を解くために、私たちは GPT‑6 Astra よりもはるかに能力が高い内部モデルを使用しました。AI の進歩のスピードと今後登場するモデルがもたらす可能性について世界に知らせることが重要だと考えています。

問題の本質

ナビエ・ストークス方程式は、ニュートンの運動第二法則（"F=ma"）を用いて流体の動きを記述します。重要な点は、この方程式が個々の分子を追跡するのではなく、流体を連続体として扱うことです。これらの方程式は、航空機の設計、天気予報、血液の流れの研究など、幅広い分野で利用されています。

これらの運動方程式における根本的な未解決の疑問は、流体の連続体近似が破綻するかどうかです。具体的には、密度一定の 3 次元非圧縮性流体に対するナビエ–ストークス方程式が、滑らかな状態から運動が始まったとしても、「特異点」を発生し得るのでしょうか？ここで言う特異点とは、有限時間内に流体内の速度が無制限に増大する現象を指します。粘性は運動を平滑化する傾向があるため、特異点の発生は粘性が存在するにもかかわらず起こらなければなりません。現実の流体が無限の速さで動くことはあり得ないため、これは方程式による流体モデル化の破綻を示すことになります。その場合、システムをモデル化し続けるには、個々の粒子の挙動を追跡する必要が生じます。

これらの方程式は、19 世紀にクロード＝ルイ・ナヴィエとジョージ・ゲイブル・ストークスによって確立されたものです。1934 年、ジャン・ラレが一般化された意味での解の存在を証明しましたが、それが常に滑らかであるかどうかについては、長年の未解決問題となりました。2000 年、クレイ数学研究所は「ナビエ–ストークスの存在と滑らかさの問題」をミレニアム懸賞問題 7 つの一つに選定しました。

成果

我々のシステムは、静止していた滑らかな流体が有限の時間で特異点（特異性）を形成し得ることを示す解析的証明と、Lean による形式化を行いました。この流体には滑らかな外力が作用しており、静止状態から特異点の形成に至るまでのダイナミクス全体を通じてエネルギーは有限に保たれます。これにより、「公式な千禧年賞問題の定式化」[1] に記載された命題 C（および D）を確立し、ナビエ・ストークス方程式に関する千禧年賞問題が解決されました。

解となるのは渦です。流体が螺旋状に内側へ巻き込まれ、スパゲッティのように次第に細長く伸びる現象です。この中心領域は縮小しながら加速しますが、物理法則の要請通りエネルギーは有限のまま保たれます。技術的な課題は、方程式が無限大の外力を手動で与えるのではなく、流体自身の運動を通じて破綻（バースト）を導き出す点にあります。より数学的に言えば、ナビエ・ストークス方程式における運動を表す項——加速度、圧力勾配、運動量輸送、粘性——は、どちらも「大きく」なる一方で、精密なバランスで互いに相殺されなければなりません。この詳細な釣り合いにより、流体の速度が無限大に発散する状況においても、滑らかな外力が存在し続けることになります。

[1] 公式な千禧年賞問題の定式化: https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf

非圧縮流体の局所的な運動のスナップショット。オレンジ色はより速い角速度を、水色はより遅い角速度を示しています。循環速度も半径に依存します。軌跡は内向きの螺旋と軸方向の伸長を示しています。

証明に至るまでの経緯

8月28日以来、私たちは数学を含むベンチマークで前例のない性能を発揮した新しい内部モデルのトレーニングを行ってきました。このモデルのトレーニングは現在も継続中であり、その性能はさらに向上し続けています。

9月1日（火）、ミレニアム賞問題のうち2つが解決されたという噂を耳にしました。これらの噂と、私たちの内部モデルにおける性能の劇的な向上に触発され、私たちはすべての未解決のミレニアム賞問題およびいくつかの他の高インパクトな問題に対する評価を開始しました。

私たちは、内部モデルによって駆動される調整エージェントシステムを利用しました。このエージェントは、インターネットのキャッシュ版からの読み込みやコードの実行といったツールにアクセス可能でした。エージェントはグループ化され、各グループ内で相互通信を行うことができました。グループの規模は様々でしたが、ナヴィエ–ストークス方程式の解決に関与したグループには、約10,000個の並列エージェントが含まれていました。我们始终（常に）、すべてのフロンティアモデル評価に適用している厳格なセーフガード——監視と隔離を含む——を維持し続けました。

各問題に対して、異なるグループのエージェントに問題文のさまざまなバリエーションを提示し、すべてのケースを網羅しました。ナビエ・ストークス方程式の問題については、証明につながる特定の形式であるバージョン「A」と「B」、そして反証につながるバージョン「C」と「D」を別々のグループに割り当てました。

ミレニアム懸賞問題の完全版に加え、マルチエージェントシステムには一連の「より簡単な問題」にも取り組んでもらいました。その一つは、粘性項を除いたナビエ・ストークス方程式の極限における特異点発生に関する類似の問題です。これはオイラー方程式の正則性問題として知られており、私たちのエージェントがこの問いに答えたことで驚かされました。彼らが解決したのは外部から力を加えない「非強制」バージョンでした。約 100 のエージェントが協力し、およそ 50 時間かけてこのオイラー方程式の正則性の反証を導き出しました 1。

オイラー方程式の解を確認したことで、私たちはナビエ・ストークス方程式こそが最も有望な課題であると判断し、リソースをここに集中させることに決めました。そのために他のミレニアム懸賞問題からエージェントを引き抜き、彼らにオイラー方程式の解決策を提示しました。さらに、取り組みの過程で内部モデルの訓練版が利用可能になった際には、エージェントを最新バージョンへ更新しました。

異なるエージェントグループに多様なアプローチの探索を促しました。一定期間が経過した後、Codex を用いて各グループから得られた最も有益な知見を統合し、グループ間で相互に知識を共有するクロス・ポリネーションを行いました。これらのフォローアッププロンプトは、エージェント自身が生成した中間結果に基づいています。ナヴィエ–ストークス方程式の解法を見出したグループも、こうした導き方によって進められました。

エージェントたちは、最初の起動から約 88 時間後の 9 月 5 日（土曜日）に解決に至りました。形式的な定式化と検証には、GPT‑6 Astra を通じてさらに 17 時間を要しました。

試行されたすべての問題を通じて、エージェントは合計 490 万メッセージを送信し、約 3,000 億トークンの出力を使用しました。ナヴィエ–ストークス問題の解決に特化したプロセスでは、270 万メッセージと約 130 億トークンが消費されました。

並行して進められた研究

私たちの取り組みは、9 月 1 日に始まりました。そのきっかけとなったのは、後に Anthropic の社員である Levent Alpöge と、NYU の数学教授 Tristan Buckmaster にまつわる噂を耳にしたことです。

私たちがプロジェクト全体を完了し、Lean による検証を終えたのは 9 月 6 日でした。その時点で、彼らもまた Navier–Stokes 方程式の解法を持っているという噂を信じていたため、彼らに連絡を取り、私たちの成果を並行して発表する提案と、共同発表における彼らの優先権を認める意向を示しました。

しかし、その折にわかったのは、彼らが「強制されたオイラー問題」に対する解決策を持っていたということです。これらの議論の中で、私たちは使用したすべてのプロンプトを開示し、後に証明自体も閲覧できるように提案しました。彼らの「強制されたオイラー」に関する研究の優先権を認めるとともに、この画期的な数学的成果に対して心から称賛を送ります。

私たちが（研究者とエージェント）が彼らの成果を何らかの方法で確認したのは、彼らが公に発表した後だけです。特に、この問題解決のために特定のユーザーデータにアクセスしたわけではありません。可能性は低いものの、私たちの製品利用から導き出された非識別化データが モデルの改善 に寄与していた可能性を完全に否定することはできません。しかし、私たちの証明は彼らと大きく異なり、オイラーの場合（強制あり vs 強制なし）においてさえ、証明された結果そのものが異なります。

進捗と責任

今回の成果の公開を通じて、AI モデルにおける着実な進捗を報告することを目的としています。なお、この結果をもってミレニアム賞を受賞する権利を主張する意図はございません。

このマイルストーンは、数学者と AI 研究者による多大な努力の結晶です。しかしこれは完成形ではなく、AI 開発における現在の進捗状況を捉えた一コマに過ぎません。

私たちは現在、次の AI 発展期に入っていると信じています⁠[1]。今回の成果はその確かな証拠の一つです。今後はこのモデルの理解を深め、得られた知見をもとに、さらなる能力向上への道筋とペースを適切に導いていきます。私たちの重要な目標の一つは、人間が制御可能で、責任所在が明確であり、人々とつながる AI システムを構築することです⁠[2]。これは、AGI が人類全体に利益をもたらすという使命を果たしつつも、進歩の速度についてより慎重な判断を下す必要があることを意味します。

[1]: https://openai.com/index/research-acceleration-view-inside-openai/

[2]: https://openai.com/index/built-to-benefit-everyone-our-plan/